DINAMIKA LAGRANGIAN DAN HAMILTONIAN

Dinamika Lagrangian dan Hamiltonian: Pendekatan Matematis dalam Mekanika Klasik

Dalam mekanika klasik, terdapat dua pendekatan kuat yang memungkinkan pemodelan sistem fisik secara lebih terstruktur dan seragam, yaitu Dinamika Lagrangian dan Hamiltonian. Dua konsep ini, diperkenalkan oleh Joseph Louis Lagrange dan William Rowan Hamilton, memberikan cara alternatif untuk memahami dan menganalisis gerak sistem fisik.

 

Dinamika Lagrangian

1.Fungsi Lagrangian (\(L\))

Fungsi Lagrangian didefinisikan sebagai perbedaan antara energi kinetik (\(T\)) dan energi potensial (\(V\)) dari sistem.

   \[ L = T - V \]

Asalnya, ide ini muncul dari formulasi untuk menggambarkan gerak sistem fisik dengan pendekatan tindakan terkecil. Joseph Louis Lagrange menemukan bahwa jika tindakan sistem (\(S\)) didefinisikan sebagai integral dari fungsi Lagrangian terhadap waktu, maka jalur gerak yang diambil oleh sistem adalah yang membuat tindakan stasioner.

2.Persamaan Euler-Lagrange

Persamaan ini merupakan alat matematis penting dalam Dinamika Lagrangian. Dengan meminimalkan atau memaksimalkan tindakan sistem, kita dapat menggunakan persamaan Euler-Lagrange untuk mendapatkan persamaan gerak sistem. Persamaan Euler-Lagrange adalah sebagai berikut:

   \[ \frac{d}{dt} \left( \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} \right) - \frac{\partial L}{\partial q} = 0 \]

   di mana \(\dot{q}\) adalah kecepatan umum dari koordinat umum \(q\) dalam sistem.

 

Turunan parsial terhadap \(\dot{q}\) dan \(q\) dalam fungsi Lagrangian membentuk persamaan gerak sistem fisik.

 

Dinamika Hamiltonian

1.Fungsi Hamiltonian (\(H\))

Fungsi Hamiltonian didefinisikan sebagai jumlah dari energi kinetik dan energi potensial sistem.

   \[ H = T + V \]

Asal mula pendekatan Hamiltonian ini berhubungan erat dengan pendekatan Lagrangian. Hamilton mencoba menggambarkan sistem dengan menggunakan pendekatan ruang fase yang menggambarkan koordinat umum (\(q\)) dan momentum umum (\(p\)).

2.Persamaan Hamilton

   Persamaan Hamilton merupakan kumpulan persamaan diferensial biasa yang menggambarkan evolusi sistem dalam ruang fase. Persamaan Hamilton terdiri dari dua persamaan:

   \[ \dot{q} = \frac{\partial H}{\partial p} \]

   \[ \dot{p} = -\frac{\partial H}{\partial q} \]

   di mana \(\dot{q}\) adalah turunan waktu dari koordinat umum, \(\dot{p}\) adalah turunan waktu dari momentum umum, dan \(H\) adalah fungsi Hamiltonian.

Perbandingan dan Penerapan

1. Perbedaan dan Kelebihan

   - Fokus dari masing-masing pendekatan.

   - Kelebihan dan keunikan dalam menyelesaikan masalah fisika.

2.Penerapan dalam Fisika Modern

   - Mekanika kuantum, teori medan, dan sistem yang kompleks.

Contoh Soal

Sebuah partikel bergerak dalam medan gaya konservatif yang diberikan oleh fungsi potensial \(V(x) = kx^2\). Hitunglah persamaan gerak partikel tersebut berdasarkan fungsi Lagrangian \(L = \frac{1}{2} m \dot{x}^2 - V(x)\).

Pembahasan:

Untuk menemukan persamaan gerak partikel, kita akan menggunakan persamaan Euler-Lagrange yang diberikan oleh:

 \[ \frac{d}{dt} \left( \frac{\partial L}{\partial \dot{x}} \right) - \frac{\partial L}{\partial x} = 0 \]

Langkah pertama adalah menghitung turunan parsial dari fungsi Lagrangian terhadap \(\dot{x}\):

\[ \frac{\partial L}{\partial \dot{x}} = \frac{\partial}{\partial \dot{x}} \left( \frac{1}{2} m \dot{x}^2 - V(x) \right) = m \dot{x} \]

Selanjutnya, kita hitung turunan parsial dari fungsi Lagrangian terhadap \(x\):

\[ \frac{\partial L}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} \left( \frac{1}{2} m \dot{x}^2 - V(x) \right) = -\frac{dV(x)}{dx} = -\frac{d(kx^2)}{dx} = -2kx \]

Sekarang, kita masukkan kedua turunan parsial ini ke dalam persamaan Euler-Lagrange:

\[ \frac{d}{dt} \left( \frac{\partial L}{\partial \dot{x}} \right) - \frac{\partial L}{\partial x} = \frac{d}{dt}(m\dot{x}) + 2kx = 0 \]

Kesimpulan

Dinamika Lagrangian dan Hamiltonian memberikan pendekatan yang terstruktur dan kuat dalam memahami gerak sistem fisik. Kedua metode ini memungkinkan para ilmuwan untuk memodelkan dan menganalisis berbagai fenomena fisika dengan lebih baik, terutama dalam sistem yang kompleks dan teori-teori lanjutan.

Referensi

Halliday, D., Resnick, R., & Walker, J. (2013). Fundamentals of Physics. Wiley.

Serway, R. A., & Jewett, J. W. (2017). Physics for Scientists and Engineers with Modern Physics. Cengage Learning.

Knight, R. D. (2016). Physics for Scientists and Engineers: A Strategic Approach with Modern Physics. Pearson.

Giancoli, D. C. (2014). Physics: Principles with Applications. Pearson.